动态规划入门-数字三角形（从朴素递归到各种优化）-白红宇

动态规划入门-数字三角形（从朴素递归到各种优化）

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发布时间：2019-06-20

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数字三角形(POJ1163)

Description

7 3   8 8   1   0 2   7   4   4 4   5   2   6   5

在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得

路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或

右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。

三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99

输入格式：

5 //三角形行数。下面是三角形

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

要求输出最大和

Sample Output

Source

解题思路：

用二维数组存放数字三角形。

D( r, j) : 第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)

MaxSum(r, j) : 从D(r,j)到底边的各条路径中，

最佳路径的数字之和。

问题：求 MaxSum(1,1)

典型的递归问题。

D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形：

if ( r == N)

MaxSum(r,j) = D(r,j)

else

MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)

改进

如果每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用

到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。

递归转成递推

“人人为我”递推型动归 Pascal代码

1 //By LYLtim 2 //2010.10.18 3 uses math; 4 var n,i,j:byte; 5     a:array[1..10,1..10]of word; 6     f:array[1..10,1..10]of word; 7 begin 8     assign(input,'tower.in');reset(input); 9     assign(output,'tower.out');rewrite(output);10     readln(n);11     for i:=1 to n do12         begin13             for j:=1 to i do14                 read(a[i,j]);15             readln;16         end;17     fillchar(f,sizeof(f),0);18     for i:=1 to n do f[n,i]:=a[n,i];19     for i:=n-1 downto 1 do20         for j:=1 to i do21             f[i,j]:=max(f[i+1,j],f[i+1,j+1])+a[i,j];22     writeln('max=',f[1,1]);23     close(input);close(output);24 end.

空间优化

没必要用二维maxSum数组存储每一个MaxSum(r,j),只要从底层一行行向上

递推，那么只要一维数组maxSum[100]即可,即只要存储一行的MaxSum值就

可以。

进一步考虑，连maxSum数组都可以不要，直接用D的

第n行替代maxSum即可。

节省空间，时间复杂度不变

递推+空间优化 C++代码

1 //By LYLtim 2 //2015.2.11 3 #include 
      
        4 #include 
       
         5 using namespace std; 6 int main() 7 { 8     int n, d[101][101]; 9     cin >> n;10     for (int i = 1; i <= n; i++)11         for (int j = 1; j <= i; j++)12             cin >> d[i][j];13     for (int i = n-1; i >= 1 ; i--)14         for (int j = 1; j <= i; j++)15             d[n][j] = max(d[n][j], d[n][j+1]) + d[i][j];16     cout << d[n][1];17 }

递归到动规的一般转化方法

递归函数有n个参数，就定义一个n维的数组，数组

的下标是递归函数参数的取值范围，数组元素的值

是递归函数的返回值，这样就可以从边界值开始，

逐步填充数组，相当于计算递归函数值的逆过程。

动规解题的一般思路

1. 将原问题分解为子问题

 把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同

或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解

决(数字三角形例）。

 子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求

解一次。